二阶导数练习题 - 掌握导数的导数计算
求下列函数的二阶导数 \( f''(x) \)：
\( f(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 4x^3 - 6x \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 12x^2 - 6 \)
\( f(x) = 2x^3 - 5x + 1 \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 6x^2 - 5 \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 12x \)
\( f(x) = -x^5 + 4x^3 - 2x \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = -5x^4 + 12x^2 - 2 \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = -20x^3 + 24x \)
\( f(x) = 7x^2 - 3x + 4 \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 14x - 3 \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 14 \)
求下列函数的二阶导数 \( f''(x) \)：
\( f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \)
1. 化简：\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}} \)
2. 求一阶导数：\( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} \)
3. 求二阶导数：\( f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} + \frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} \)
\( f(x) = 2x^{\frac{3}{2}} - 3x^{-\frac{1}{2}} \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}} = 3x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2}x^{-\frac{3}{2}} \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{9}{4}x^{-\frac{5}{2}} \)
\( f(x) = \frac{1}{x^2} + 2x \)
1. 化简：\( f(x) = x^{-2} + 2x \)
2. 求一阶导数：\( f'(x) = -2x^{-3} + 2 \)
3. 求二阶导数：\( f''(x) = (-2) \cdot (-3)x^{-4} = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4} \)
\( f(x) = 4x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} \)
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 4 \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} = \frac{8}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{4}{3}} \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right)x^{-\frac{7}{3}} = -\frac{8}{9}x^{-\frac{4}{3}} - \frac{8}{9}x^{-\frac{7}{3}} \)
求下列函数的二阶导数并分析其物理意义：
位移函数 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 + t \)，求加速度函数（二阶导数）
1. 求速度（一阶导数）：\( v(t) = 6t^2 - 6t + 1 \)
2. 求加速度（二阶导数）：\( a(t) = 12t - 6 \)
加速度表示速度的变化率，这里加速度是时间的线性函数。
成本函数 \( C(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 2 \)，求边际成本变化率（二阶导数）
1. 求边际成本（一阶导数）：\( C'(x) = 3x^2 - 12x + 15 \)
2. 求边际成本变化率（二阶导数）：\( C''(x) = 6x - 12 \)
二阶导数表示边际成本的变化率，当x > 2时，边际成本递增。
需求函数 \( p(x) = -2x^2 + 20x - 3 \)，求需求对价格变化的敏感度（二阶导数）
1. 求需求变化率（一阶导数）：\( p'(x) = -4x + 20 \)
2. 求敏感度变化（二阶导数）：\( p''(x) = -4 \)
二阶导数为负，说明需求对价格的敏感度在递减。
求函数的二阶导数并分析其性质：
已知 \( f(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 3x + 1 \)，求 \( f''(1) \) 的值
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 3 \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 12x^2 - 12x + 2 \)
3. 代入x=1：\( f''(1) = 12(1)^2 - 12(1) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2 \)
证明函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在x=1处的二阶导数为正
1. 求一阶导数：\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)
2. 求二阶导数：\( f''(x) = 6x - 6 \)
3. 代入x=1：\( f''(1) = 6(1) - 6 = 0 \)
二阶导数为0，不能证明为正。实际上在x=1处二阶导数为0。
二阶导数是"导数的导数"，用于描述梯度函数的变化率。计算时需先求一阶导数，再对一阶导数重复求导。关键是熟练运用幂函数求导法则（包括分数指数、负指数的情况），逐步化简计算。
核心要点：二阶导数的本质是"梯度的变化率"，计算时需先求一阶导数，再对一阶导数重复求导。
掌握二阶导数计算是微积分的重要基础，它为理解函数的凹凸性、拐点和物理学中的加速度等概念提供了数学工具。通过练习可以培养连续求导的思维能力。